Załóżmy, że punkt materialny o masie \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) znajduje się w punkcie \( \hskip 0.3pc A.\hskip 0.3pc \) Mając punkt \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) leżacy pod linią horyzontalną przechodząca przez punkt \( \hskip 0.3pc A,\hskip 0.3pc \) wyznaczyć linie łączącą \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) tak, aby ześlizgujący się pod wpływem siły ciężkości punkt materialny przebył ją w najkrótszym czasie. Przyjmujemy przy tym, że nie występuje siła tarcia.

Niech \( \hskip 0.3pc A=(0,0),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc B=(a,b),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc a>0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc b<0.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z prawem zachowania energii mamy

gdzie \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) - oznacza masę punktu, \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) - prędkość, \( \hskip 0.3pc v_0\hskip 0.3pc \) - prędkość początkową, \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) - przyspieszenie grawitacyjne. Przypomnijmy, że prawo zachowania energii mówi iż suma energii kinetycznej i energii potencjalnej jest stała. Wzór ( 1 ) wyraża fakt, że zmiana energii kinetycznej jest równa zmianie energii potencjalnej. Z ( 1 ) wynika, że

Niech \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t)\hskip 0.3pc \) będzie szukanym równaniem krzywej. Prędkość punktu wzdłuż tej krzywej określona jest zależnością \( \hskip 0.3pc v(t)= (x^\prime (t),\,y^\prime (t)).\hskip 0.3pc \) Oczywiście możemy przyjąć, że \( \hskip 0.3pc x^\prime(t)>0.\hskip 0.3pc \) Wówczas

gdzie

Przekształcając ostatnie wyrażenie i uwzględniając równość

otrzymamy

Całkując ostatnie wyrażenie w przedziale \( \hskip 0.3pc [0,\,a]\hskip 0.3pc \) otrzymamy wzór na czas potrzebny do przebycia krzywej \( \hskip 0.3pc AB\hskip 0.3pc \)

Jak widać czas ten zależy od funkcji \( \hskip 0.3pc y.\hskip 0.3pc \) Problem polega więc na znalezieniu minimum wyrażenia

na zbiorze krzywych regularnych \( \hskip 0.3pc y=y(x),\hskip 0.3pc \) łączących punkty \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B.\hskip 0.3pc \)

Po jakiej krzywej powinien ześlizgiwać się punkt materialny startujący z punktu \( \hskip 0.3pc A(0,0)\hskip 0.3pc \) aby w najkrótszym czasie osiągnąć linie \( \hskip 0.3pc x=a.\hskip 0.3pc \)

Z poprzednich rozważań wynika, że należy znaleźć minimum wyrażenia

na zbiorze krzywych regularnych \( \hskip 0.3pc y=y(x),\hskip 0.3pc \) wychodzących z punktu \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) (tzn. \( \hskip 0.3pc y(0)=0\hskip 0.3pc \)) i przecinających prostą \( \hskip 0.3pc x=a.\hskip 0.3pc \)

Wyznaczyć na płaszczyźnie figurę o największym obszarze mając zadany obwód.

Załóżmy, że brzeg obszaru opisany jest krzywą \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in [\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \)
Wiadomo, że długość krzywej wyraża się wzorem

a pole powierzchni wzorem

Problem polega więc na znalezieniu maksimum funkcjonału (3) na zbiorze wszystkich regularnych krzywych zamkniętych na \( \hskip 0.3pc [\alpha ,\beta ],\hskip 0.3pc \) spełniających warunek (2).

Powierzchnia o najmniejszym polu przechodząca przez daną krzywą. Niech \( \hskip 0.3pc \Gamma\hskip 0.3pc \) będzie krzywą zmkniętą w \( \hskip 0.3pc \mathbb R^3.\hskip 0.3pc \) Znaleźć powierzchnię \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) o najmniejszym polu, której brzegiem jest krzywa \( \hskip 0.3pc \Gamma.\hskip 0.3pc \)

Załóżmy że krzywa \( \hskip 0.3pc \Gamma\hskip 0.3pc \) opisana jest równaniami \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z=z(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc D\hskip 0.3pc \) będzie rzutem szukanej powierzchni na płaszczyznę \( \hskip 0.3pc Oxy,\hskip 0.3pc \) czyli obszarem ograniczonym krzywą \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \) Należy znaleźć funkcje \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D,\hskip 0.3pc \) realizującą minimum funkcjonału

i spełniającą warunek \( \hskip 0.3pc u(x(t),y(t))=z(t)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ] .\hskip 0.3pc \)

Załóżmy, że dana jest powierzchnia regularna \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) oraz punkty \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) leżące na tej powierzchni. Znaleźć krzywą o najmniejszej długości łączącą punkty \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B,\hskip 0.3pc \) całkowicie leżącą na powierzchni \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) (tzw. krzywą geodezyjną).

Przyjmijmy, że powierzchnia \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) zadana jest równaniem

Ponadto przyjmijmy, że szukana krzywa ma równanie

Z analizy wiadomo, że długość krzywej (4) wyraża się wzorem

gdzie

(symbol \( \hskip 0.3pc \cdot \hskip 0.3pc \) oznacza iloczyn skalarny, \( \hskip 0.3pc r_u=(x_u,y_u,z_u), \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc r_v=(x_v,y_v,z_v).\hskip 0.3pc \))

Problem polega zatem na znalezieniu minimum funkcjonału (5) na zbiorze krzywych regularnych

takich że: \( \hskip 0.3pc \big(u(t),v(t)\big)\in D\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ],\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc r\big( u(\alpha ), v(\alpha )\big)=A,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc r\big(u(\beta ), v(\beta )\big)=B.\hskip 0.3pc \)